Análise Dimensional

A análise dimensional é uma ferramenta poderosa e simples para avaliar e deduzir relações físicas. A similaridade é um conceito diretamente relacionado, que consiste basicamente na equivalência de experimentos ou fenômenos que são, na realidade, diferentes. Naturalmente, os métodos são genéricos e de ampla utilização e não se limitam a área da Mecânica dos Fluidos.

Grandezas básicas, unidades, dimensões

De forma simples, pode-se definir grandeza física como uma propriedade observável que pode ser expressa em termos quantitativos. Uma grandeza física deve obedecer a princípios aritméticos comuns de números. Sejam, por exemplo, as grandezas da mesma espécie A₁, A₂ e A₃:

Adição e subtração

Se A1 + A2 = A3 , então  A1 = A3 − A2

Comparação

Se A1 + A2 = A3  e  A₂ é finito e positivo, então  A3 > A1

Multiplicação e divisão

Se, por exemplo,  A2 = A1 + A1 + A1 , então  A2 = 3A1  ou  A1 = A2/3

O valor numérico de uma grandeza observada depende da unidade, isto é, do padrão de referência adotado.
As grandezas básicas formam um conjunto, normalmente pequeno, em relação ao qual as demais grandezas são definidas. Estas últimas são denominadas grandezas derivadas.

Uma grandeza derivada genérica G pode sempre ser definida segundo a fórmula:

G = α Aa Bb Cc...  #B.1#

Onde o coeficiente α e os expoentes a, b, c, … são números reais e A, B, C, … são grandezas básicas.

Tabela 01

Grandeza física	Símbolo da dimensão	Unidade SI	Símbolo da unidade SI
Comprimento	L	metro	m
Massa	M	quilograma	kg
Tempo	T	segundo	s
Corrente elétrica	I	ampère	A
Temperatura termodinâmica	θ	kelvin	K
Quantidade de matéria	N	mol	mol
Intensidade luminosa	J	candela	cd

O conceito de dimensão indica as grandezas básicas e os respectivos expoentes que formam a grandeza derivada, ou seja, pode ser considerada a fórmula anterior sem o coeficiente α.

A dimensão de uma unidade é indicada por colchetes e, em termos dimensionais, a fórmula anterior fica

[G] = [A]a [B]b [C]c...  #C.1#

Usando raciocínio idêntico ao da transformação dada pelas igualdades anteriores #A.1# a #A.4#, pode-se facilmente deduzir:

Se a unidade da grandeza A é multiplicada por n_A, da grandeza B por n_B, etc, e o valor numérico de G era N, o novo valor N' é dado por:

N' = n−1 N  onde  n = (nA)a (nB)b (nC)c...  #D.1#

Exemplos:

• Se A é uma grandeza de comprimento, a dimensão de A é dada por  [A] = L

• Se c é uma grandeza de velocidade, c = comprimento / tempo e, portanto,  [c] = L/T = L T−1

• Se a é aceleração, a = velocidade / tempo e  [a] = L T−1/T = L T−2

• Se F é força, F = massa × aceleração e  [F] = L M T−2

• Se S é área, S = comprimento × comprimento e  [S] = L2

• Se p é pressão, p = força / área e  [p] = L M T−2/L2 = L−1 M T−2

Portanto, a dimensão de uma grandeza derivada é obtida pela substituição, na relação que a define, das grandezas básicas pelas respectivas dimensões, mantendo-se os expoentes e desprezando-se o coeficiente de proporcionalidade se existir. Se houver grandezas derivadas na relação, o mesmo procedimento é adotado para essas e o resultado final deve ser simplificado matematicamente.

Observar que, embora sejam considerados sinôminos em muitas citações práticas, os conceitos de dimensão e de unidade são tecnicamente distintos.

Algumas propriedades das grandezas e dimensões:

• A dimensão de uma grandeza derivada é sempre um produto de potências das dimensões das grandezas básicas que a formam.

• Somas de grandezas de mesma dimensão são grandezas com a mesma dimensão. Produtos e divisões de grandezas são também grandezas derivadas, com dimensões normalmente diferentes das originais.

• Todas as grandezas de mesma dimensão mudam seus valores na mesma proporção quando os valores das unidades básicas são mudados.

• Funções não lineares (como logarítmicas, exponenciais, trigonométricas) de grandezas derivadas não são em geral grandezas derivadas.

• Uma grandeza é dita adimensional se o resultado final da dimensão é unitário. Exemplo: seja x = c t / l, onde c é velocidade, t é tempo e l é comprimento. Então [x] = L T−1 T / L = 1